- Регистрация
- 19 Окт 2018
- Сообщения
- 26,132
- Реакции
- 4,222
Методы учета фактора времени в управлении финансами
В финансовом менеджменте учет фактора времени осуществляется с помощью методов наращения и дисконтирования, в основу которых положена техника процентных вычислений. Узнайте методы вычислений наращения по простым процентам, дисконтирования по простым процентам, дисконтирования по учетной ставке, а также эффективной процентной ставки и дисконтирования по сложным процентам.
Автор: Виктор Андреевич Mocквин, доктор экономических наук, профессор Государственного университета управления и Академии народного хозяйства при Правительстве РФ, главный научный сотрудник Государственного научного центра РФ «НАМИ».
В финансовом менеджменте учет фактора времени осуществляется с помощью методов наращения и дисконтирования, в основу которых положена техника процентных вычислений.
Сущностью этих методов является приведение денежных сумм, относящихся к различным временном периодам, к требуемому моменту времени в настоящем или будущем. При этом в качестве нормы приведения используется процентная ставка (interest rate — r).
В узком смысле процентная ставка представляет собой цену, уплачиваемую за использование заемных денежных средств. Однако в финансовом менеджменте она трактуется более широко.
Процентная ставка здесь также выступает:
Дисконтирование представляет собой процесс нахождения денежной величины на заданный момент времени по ее известному или предполагаемому значению в будущем.
В экономическом смысле величина PV, найденная в процессе дисконтирования, показывает современное (с позиции текущего момента времени) значение будущей величины FV.
Нетрудно заметить, что дисконтирование, по сути, является зеркальным отражением наращения. Используемую при этом процентную ставку r называют нормой дисконта.
Следует отметить, что в зависимости от условий проведения финансовых операций как наращение, так и дисконтирование могут осуществляться с применением простых, сложных либо непрерывных процентов.
Простые проценты
Как правило, простые проценты используются в краткосрочных финансовых операциях, срок проведения которых меньше или равен году.
Базой для исчисления процентов за каждый период в этом случае является первоначальная (исходная) сумма сделки.
Наращение по простым процентам
В общем случае наращение по годовой ставке простых процентов вычисляют по формуле:
FV = PV (1 + r * n)
где FV— будущая стоимость (величина); PV — современная величина; n — число периодов (лет); r — процентная ставка.
На практике продолжительность краткосрочной операции обычно меньше года. В этом случае срок проведения операции корректируется следующим образом:
где t — число дней проведения операции; В — временная база (число дней в году: 360, 365 или 366).
С учетом корректировки срока операции ее будущую стоимость можно определить как:
FV = PV (1 + r * [t /B]).
Обычно при определении продолжительности операции даты ее начала и окончания считаются за один день.
В процессе проведения анализа в качестве временной базы часто удобно использовать условный, или финансовый, год, состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней). Исчисляемые по такой базе проценты называют обыкновенными, или коммерческими.
Точные проценты получают при базе, равной фактическому числу дней в году, т. е. при В = 365 или 366.
Пример. Покупатель предоставил коммерческий кредит под гарантию оплаты продукции на сумму 10 000 ед. через 30 дней. Ставка по кредиту определена в размере 30% годовых. Какова будет сумма оплаты по контракту?
Вычислим ее:
а) с использованием обыкновенных процентов
FV = 10 000 * (1 + 0,30 * (30 / 360)) = 10 250 ед.;
б) с использованием точных процентов
FV= 10 000 * (1 + 0,30 * (30 / 365)) = 10 246,58 ед.
В свою очередь, срок продолжительности операции также может быть приблизительным (когда месяц принимается равным 30 дням) или точным (фактическое число дней в каждом месяце).
Таким образом, в зависимости от параметров t и В возможны следующие варианты начислений процентов:
В России в основном применяются точные проценты (365/365). В частности, они используются в официальных методиках Центрального банка РФ и Минфина России для расчета доходности по краткосрочным государственным обязательствам.
Дисконтирование по простым процентам
В зависимости от вида процентной ставки при анализе краткосрочных финансовых операций применяют два метода дисконтирования — математическое и коммерческое (так называемый банковский учет). В первом случае в качестве нормы приведения используют ставку r, применяемую при наращении. Во втором случае в роли нормы приведения выступает учетная ставка, для обозначения которой в дальнейшем будет использоваться символ d.
Математическое дисконтирование представляет собой задачу, обратную наращению, и сводится к определению величины PV по известным значениям величин FV, r, n. С учетом принятых обозначений формула дисконтирования по ставке r будет иметь следующий вид:
PV = FV / (1 + r * n) = FV / (1 + r * [t / B])
Разность FV — PV называют дисконтом, или скидкой, а используемую норму приведения r — декурсивной ставкой процентов.
Банковский или коммерческий учет
Этот метод дисконтирования применяется в основном при банковском учете векселей. Суть его заключается в том, что проценты начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока операции. При этом применяется учетная ставка d. Формула дисконтирования по учетной ставке имеет следующий вид:
PV = FV * (1 — d * n) = FV * (1 — d * [t / B])
При дисконтировании по учетной ставке чаще всего используют временную базу 360/360 или 360/365. Используемую при этом норму приведения d называют антисипативной ставкой процентов.
Пример. Простой вексель на сумму 100 000 ед. с оплатой через 90 дней учитывается в банке немедленно после получения. Учетная ставка банка 15%. Определить сумму, полученную владельцем векселя.
PV = 100 000 (1 — 0,15 * 90 / 360) = 96 250 ед.
Соответственно, банк удержал в свою пользу 100 000 — 96 250 = 3 750 ед.
При неизменном значении ставки d чем раньше производится учет векселя, тем больше будет величина дисконта в пользу банка и тем меньшую сумму получит владелец.
Применение двух рассмотренных методов дисконтирования к одной и той же сумме приводит к разным результатам, даже при r = d. Учетная ставка d дает более быстрое снижение исходной суммы, чем обычная ставка r.
Сложные проценты
Сложные проценты широко применяются в финансовых операциях, срок проведения которых превышает один год. Вместе с тем они могут использоваться и в краткосрочных финансовых операциях, если это предусмотрено условиями сделки либо вызвано объективной необходимостью (например, высоким уровнем инфляции, риска и т. д.) При этом база для исчисления процентов за период включает в себя как исходную сумму сделки, так и сумму уже накопленных к этому времени процентов.
Общее соотношение для определения будущей величины имеет вид:
FV n= PV (1 + r)n
Нетрудно заметить, что величина FV существенно зависит от значений r и n. Например, будущая величина суммы всего в 1,00 ед. при годовой ставке 15% через 100 лет составит 1 174 313,45 ед.
На практике, в зависимости от условий финансовой сделки, проценты могут начисляться несколько раз в году, например, ежемесячно, ежеквартально и т. д. В этом случае соотношение для исчисления будущей стоимости будет иметь следующий вид:
FVn= P V (1 + r / m) m
где m — число периодов начисления в году.
Часто возникает необходимость сравнения условий финансовых операций, предусматривающих различные периоды начисления процентов. В этом случае осуществляют приведение соответствующих процентных ставок к их годовому эквиваленту по формуле:
EPR = (1 + r / m) m -1
Полученную при этом величину называют эффективной процентной ставкой (effective percentage rate — EPR), или ставкой сравнения.
Пример. На 4-летний депозит в 10 000,00 ед. производится ежеквартальное начисление сложных процентов по ставке 2,5%, т. е. из расчета 10% годовых. Будет ли эквивалентной инвестицией депозит в 10 000,00 ед., вложенный на тот же срок под 10%, начисляемых один раз в год?
Рассчитаем эффективную ставку для обеих операций:
ежеквартально EPR = (1 + 0,1/4)4— 1 = (1 + 0,025)4— 1 = 0,103813 ед.,
ежегодно EPR = (1 + 0,1 / 1) 1— 1 = 0,10 ед.
Таким образом, условия помещения суммы в 10 000,00 ед. на депозит сроком на 4 года под 2,5%, начисляемых ежеквартально, будут эквивалентными годовой ставке, равной 10,3813%. Следовательно, первая операция более выгодна для инвестора.
Дисконтирование по сложным процентам
Формулу для определения современной величины по сложным процентам можно легко вывести формулы сложных процентов делением его обеих частей на величину (1 + r) n. Выполнив соответствующие математические преобразования, получим:
PVn = FVn / (1 + r)n
Пример. Выплаченная по 3-летнему депозиту сумма составила величину 100 ед. Определить первоначальную величину вклада, если ставка по депозиту равна 8% годовых. Аналитическое решение задачи будет иметь следующий вид:
PV = 100,00 / (1 + 0,08)3 = 79,38 ед.
Если начисление процентов осуществляется m раз в году, соотношение будет иметь вид:
PV n, m = FVn (1 + r / m)mn
Методы наращения и дисконтирования играют важную роль в финансовом менеджменте, так как являются инструментарием для оценки потоков платежей.
В финансовом менеджменте учет фактора времени осуществляется с помощью методов наращения и дисконтирования, в основу которых положена техника процентных вычислений. Узнайте методы вычислений наращения по простым процентам, дисконтирования по простым процентам, дисконтирования по учетной ставке, а также эффективной процентной ставки и дисконтирования по сложным процентам.
Автор: Виктор Андреевич Mocквин, доктор экономических наук, профессор Государственного университета управления и Академии народного хозяйства при Правительстве РФ, главный научный сотрудник Государственного научного центра РФ «НАМИ».
В финансовом менеджменте учет фактора времени осуществляется с помощью методов наращения и дисконтирования, в основу которых положена техника процентных вычислений.
Сущностью этих методов является приведение денежных сумм, относящихся к различным временном периодам, к требуемому моменту времени в настоящем или будущем. При этом в качестве нормы приведения используется процентная ставка (interest rate — r).
В узком смысле процентная ставка представляет собой цену, уплачиваемую за использование заемных денежных средств. Однако в финансовом менеджменте она трактуется более широко.
Процентная ставка здесь также выступает:
- в качестве измерителя уровня (нормы) доходности производимых операций, исчисляемого как отношение полученной прибыли к величине вложенных средств и выражаемого в долях единицы либо в процентах;
- в качестве альтернативной стоимости (издержек) капитала. Под наращением понимают процесс увеличения первоначальной суммы в результате начисления процентов.
Дисконтирование представляет собой процесс нахождения денежной величины на заданный момент времени по ее известному или предполагаемому значению в будущем.
В экономическом смысле величина PV, найденная в процессе дисконтирования, показывает современное (с позиции текущего момента времени) значение будущей величины FV.
Нетрудно заметить, что дисконтирование, по сути, является зеркальным отражением наращения. Используемую при этом процентную ставку r называют нормой дисконта.
Следует отметить, что в зависимости от условий проведения финансовых операций как наращение, так и дисконтирование могут осуществляться с применением простых, сложных либо непрерывных процентов.
Простые проценты
Как правило, простые проценты используются в краткосрочных финансовых операциях, срок проведения которых меньше или равен году.
Базой для исчисления процентов за каждый период в этом случае является первоначальная (исходная) сумма сделки.
Наращение по простым процентам
В общем случае наращение по годовой ставке простых процентов вычисляют по формуле:
FV = PV (1 + r * n)
где FV— будущая стоимость (величина); PV — современная величина; n — число периодов (лет); r — процентная ставка.
На практике продолжительность краткосрочной операции обычно меньше года. В этом случае срок проведения операции корректируется следующим образом:
где t — число дней проведения операции; В — временная база (число дней в году: 360, 365 или 366).
С учетом корректировки срока операции ее будущую стоимость можно определить как:
FV = PV (1 + r * [t /B]).
Обычно при определении продолжительности операции даты ее начала и окончания считаются за один день.
В процессе проведения анализа в качестве временной базы часто удобно использовать условный, или финансовый, год, состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней). Исчисляемые по такой базе проценты называют обыкновенными, или коммерческими.
Точные проценты получают при базе, равной фактическому числу дней в году, т. е. при В = 365 или 366.
Пример. Покупатель предоставил коммерческий кредит под гарантию оплаты продукции на сумму 10 000 ед. через 30 дней. Ставка по кредиту определена в размере 30% годовых. Какова будет сумма оплаты по контракту?
Вычислим ее:
а) с использованием обыкновенных процентов
FV = 10 000 * (1 + 0,30 * (30 / 360)) = 10 250 ед.;
б) с использованием точных процентов
FV= 10 000 * (1 + 0,30 * (30 / 365)) = 10 246,58 ед.
В свою очередь, срок продолжительности операции также может быть приблизительным (когда месяц принимается равным 30 дням) или точным (фактическое число дней в каждом месяце).
Таким образом, в зависимости от параметров t и В возможны следующие варианты начислений процентов:
- 365/365 — точное число дней проведения операции и фактическое число дней в году;
- 365/360 — точное число дней проведения операции и финансовый год (12 месяцев по 30 дней);
- 360/360 — приближенное число дней проведения операции (месяц принимается равным 30 дням) и финансовый год (12 месяцев по 30 дней).
В России в основном применяются точные проценты (365/365). В частности, они используются в официальных методиках Центрального банка РФ и Минфина России для расчета доходности по краткосрочным государственным обязательствам.
Дисконтирование по простым процентам
В зависимости от вида процентной ставки при анализе краткосрочных финансовых операций применяют два метода дисконтирования — математическое и коммерческое (так называемый банковский учет). В первом случае в качестве нормы приведения используют ставку r, применяемую при наращении. Во втором случае в роли нормы приведения выступает учетная ставка, для обозначения которой в дальнейшем будет использоваться символ d.
Математическое дисконтирование представляет собой задачу, обратную наращению, и сводится к определению величины PV по известным значениям величин FV, r, n. С учетом принятых обозначений формула дисконтирования по ставке r будет иметь следующий вид:
PV = FV / (1 + r * n) = FV / (1 + r * [t / B])
Разность FV — PV называют дисконтом, или скидкой, а используемую норму приведения r — декурсивной ставкой процентов.
Банковский или коммерческий учет
Этот метод дисконтирования применяется в основном при банковском учете векселей. Суть его заключается в том, что проценты начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока операции. При этом применяется учетная ставка d. Формула дисконтирования по учетной ставке имеет следующий вид:
PV = FV * (1 — d * n) = FV * (1 — d * [t / B])
При дисконтировании по учетной ставке чаще всего используют временную базу 360/360 или 360/365. Используемую при этом норму приведения d называют антисипативной ставкой процентов.
Пример. Простой вексель на сумму 100 000 ед. с оплатой через 90 дней учитывается в банке немедленно после получения. Учетная ставка банка 15%. Определить сумму, полученную владельцем векселя.
PV = 100 000 (1 — 0,15 * 90 / 360) = 96 250 ед.
Соответственно, банк удержал в свою пользу 100 000 — 96 250 = 3 750 ед.
При неизменном значении ставки d чем раньше производится учет векселя, тем больше будет величина дисконта в пользу банка и тем меньшую сумму получит владелец.
Применение двух рассмотренных методов дисконтирования к одной и той же сумме приводит к разным результатам, даже при r = d. Учетная ставка d дает более быстрое снижение исходной суммы, чем обычная ставка r.
Сложные проценты
Сложные проценты широко применяются в финансовых операциях, срок проведения которых превышает один год. Вместе с тем они могут использоваться и в краткосрочных финансовых операциях, если это предусмотрено условиями сделки либо вызвано объективной необходимостью (например, высоким уровнем инфляции, риска и т. д.) При этом база для исчисления процентов за период включает в себя как исходную сумму сделки, так и сумму уже накопленных к этому времени процентов.
Общее соотношение для определения будущей величины имеет вид:
FV n= PV (1 + r)n
Нетрудно заметить, что величина FV существенно зависит от значений r и n. Например, будущая величина суммы всего в 1,00 ед. при годовой ставке 15% через 100 лет составит 1 174 313,45 ед.
На практике, в зависимости от условий финансовой сделки, проценты могут начисляться несколько раз в году, например, ежемесячно, ежеквартально и т. д. В этом случае соотношение для исчисления будущей стоимости будет иметь следующий вид:
FVn= P V (1 + r / m) m
где m — число периодов начисления в году.
Часто возникает необходимость сравнения условий финансовых операций, предусматривающих различные периоды начисления процентов. В этом случае осуществляют приведение соответствующих процентных ставок к их годовому эквиваленту по формуле:
EPR = (1 + r / m) m -1
Полученную при этом величину называют эффективной процентной ставкой (effective percentage rate — EPR), или ставкой сравнения.
Пример. На 4-летний депозит в 10 000,00 ед. производится ежеквартальное начисление сложных процентов по ставке 2,5%, т. е. из расчета 10% годовых. Будет ли эквивалентной инвестицией депозит в 10 000,00 ед., вложенный на тот же срок под 10%, начисляемых один раз в год?
Рассчитаем эффективную ставку для обеих операций:
ежеквартально EPR = (1 + 0,1/4)4— 1 = (1 + 0,025)4— 1 = 0,103813 ед.,
ежегодно EPR = (1 + 0,1 / 1) 1— 1 = 0,10 ед.
Таким образом, условия помещения суммы в 10 000,00 ед. на депозит сроком на 4 года под 2,5%, начисляемых ежеквартально, будут эквивалентными годовой ставке, равной 10,3813%. Следовательно, первая операция более выгодна для инвестора.
Дисконтирование по сложным процентам
Формулу для определения современной величины по сложным процентам можно легко вывести формулы сложных процентов делением его обеих частей на величину (1 + r) n. Выполнив соответствующие математические преобразования, получим:
PVn = FVn / (1 + r)n
Пример. Выплаченная по 3-летнему депозиту сумма составила величину 100 ед. Определить первоначальную величину вклада, если ставка по депозиту равна 8% годовых. Аналитическое решение задачи будет иметь следующий вид:
PV = 100,00 / (1 + 0,08)3 = 79,38 ед.
Если начисление процентов осуществляется m раз в году, соотношение будет иметь вид:
PV n, m = FVn (1 + r / m)mn
Методы наращения и дисконтирования играют важную роль в финансовом менеджменте, так как являются инструментарием для оценки потоков платежей.